Ejemplo inicial de grados de libertad

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Para los estadísticos o ingenieros estadísticos el término de “grados de libertad” es muy conocido, incluso en la mayoría de los libros de estadística y probabilidad es muy utilizado pero no dejan un concepto claro sobre el mismo, siendo uno de los más conocidos “el número de variables menos el número de parámetros a estimar”. En forma práctica presento uno de los ejemplos primarios para entender este concepto: Asumiendo que  $x_i\sim N(\mu,\sigma^2)$, sabemos que $\overline{x}\sim N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$  y por lo tanto $\frac{\overline{x}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sim N(0,1)$ . Bajo el supuesto que conocemos los parámetros $\mu$ y $\sigma^2 $ se puede notar que el estadístico $z=\frac{\overline{x}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$  se obtienen a partir de $n$ variables independientes  $x_i$. Es decir, como vimos en nuestro curso de algebra lineal, la dimensión de el espacio dimensional es $n$. Por otro lado supongamos que desconocemos el valor de $\sigma^2 $, el cual sería estimado con $s^2 $, ahora para calcular el valor de $s^2$ se utilizan $n$ desviaciones respecto a la media y es fácil verificar que las $n$ desviaciones no son independientes sino, por lo contrario, la última desviación depende de las $n-1$ desviaciones restantes ya que la suma de las $n$ desviaciones tiene que ser igual a 0. Esto produce la pérdida de un grado de libertad y por lo tanto, nuestro estadístico $t=\frac{\overline{x}-\mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}}$ tiene $n-1$ grados de libertad. En conclusión, cuando se calcula un estadístico con la necesidad de estimar $k$ parámetros, el número de grados de libertad es $n-k$. En otras palabras mientras más obligaciones tengas en tu vida, tienes menos grados de libertad. “Y alguien que tiene demasiadas enamoradas casi no tiene grados de libertad porque no va a tener la libertad de movilizarse por donde desee sino que va a tener que evadir la concurrencia a ciertas zonas, para que no lo pillen, perdiendo poco a poco más grados de libertad.”  Espero que hayan disfrutado y se incentiven a interpretar su significado tanto en las pruebas de hipótesis multivariadas, regresión, muestreo y otros.

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